確率・統計の勉強 #7 標準正規分布，正規分布

藤田岳彦「弱点克服大学生の確率・統計」：

弱点克服大学生の確率・統計

作者: 藤田岳彦
出版社/メーカー: 東京図書
発売日: 2010/04/09
メディア: 単行本
購入: 6人クリック: 9回
この商品を含むブログを見る

前回↓

ryosuke-okubo.hatenablog.com

前回に紹介したガンマ関数を使って，正規分布の性質について理解する。

基本的な性質は以下の記事にまとめたので，そちらも参照するとよい。

ryosuke-okubo.hatenablog.com

問題
解法

問題

問題39 標準正規分布，正規分布より

1. 確率変数Xが標準正規分布にしたがうとき，以下を求めよ。

(1) $f_X(x)$

(2) $E(X)$

(3) $V(X)$

(4) $P(|X| \lt 1.96)$

(5) $E(e^{\alpha X})$

2. $X \sim N(0,1)$ ， $Y = \mu + \sigma X \ (\sigma \gt 0)$ とするとき，以下を求めよ。

(1) $f_Y(x)$

(2) $E(X)$

(3) $V(X)$

解法

標準正規分布（1.）

(1) 先に解答を示す。

$f_X(x) = \frac{1}{\sqrt {2 \pi}} e^{-\frac{x^2}{2}}$

この式において， $e^{-\frac{x^2}{2}}$ が分布のかたちを決めており，手前の $\frac{1}{\sqrt {2 \pi}}$ は積分して1になるために配置されている。

では $\frac{1}{\sqrt {2 \pi}}$ がどうやって求まるのか，ここで確認してみる。分布のかたちはわかっている前提として， $f_X(x) = c e^{-\frac{x^2}{2}}$ の $c$ を求める。

$\int_{-\infty}^{\infty}e^{-\frac{x^2}{2}}dx = 2 \int_{0}^{\infty}e^{-\frac{x^2}{2}}dx$

変数変換 $u =\frac{x^2}{2}$ （ $x =\sqrt{2u}$ ）より，

$= 2 \int_{0}^{\infty}e^{-u} \sqrt{2} \frac{1}{2} u^{-\frac{1}{2}} du$

ガンマ関数に変換して，

$= \sqrt{2} \Gamma(\frac{1}{2}) = \sqrt{2 \pi}$

これより，

$1 = c \int_{-\infty}^{\infty} e^{-\frac{x^2}{2}}dx =\sqrt{2 \pi}$ より $c = \frac{1}{\sqrt{2 \pi}}$

(2)(3)は標準正規分布の平均が0，分散が1であることを計算で確認している。

(2) $E(X) =\frac{1}{\sqrt {2 \pi}} \int_{-\infty}^{\infty} xe^{-\frac{x^2}{2}}dx \\ \displaystyle = \frac{1}{\sqrt {2 \pi}} \Biggl[ -e^{-\frac{x^2}{2}} \Biggl]_{-\infty}^{\infty} = 0$

(3) $E(X^2) =\frac{1}{\sqrt {2 \pi}} \int_{-\infty}^{\infty} x^2 e^{-\frac{x^2}{2}}dx = 2 \frac{1}{\sqrt {2 \pi}} \int_{0}^{\infty} x^2 e^{-\frac{x^2}{2}}dx$

変数変換 $u =\frac{x^2}{2}$ （ $x =\sqrt{2u}$ ）より，

$= 2 \frac{1}{\sqrt {2 \pi}} \int_{0}^{\infty} (2u) e^{-u} \sqrt{2} \frac{1}{2} u^{-\frac{1}{2}} du$

ガンマ関数に変換して，

$= 2\frac{1}{\sqrt{\pi}} \Gamma(\frac{3}{2}) = 1$

よって， $V(X) = E(X^2)-(E(X))^2 = 1$

(4) これは正規分布の性質

$\mu - 1.96\sigma \sim \mu + 1.96\sigma$ の範囲内に，全体の95%が含まれる

ことを示す問題である。

$P(|X| \lt 1.96) = 1 - 2P(X \gt 1.96)$

ここで $P(X \gt 1.96) = 0.025$ より，

$= 0.95$

(5) これはモーメント母関数 $M_X(\alpha) =E(e^{\alpha X})$ を求める問題である。モーメント母関数とは確率分布を決定する関数であり， $n$ 回微分して $\alpha=0$ を代入すると $E(X^n)$ となる性質がある。

$E(e^{\alpha X}) = \frac{1}{\sqrt {2 \pi}} \int_{-\infty}^{\infty} e^{\alpha x}e^{-\frac{x^2}{2}}dx \\ \displaystyle = \frac{1}{\sqrt {2 \pi}} \int_{-\infty}^{\infty} e^{-\frac{(x - \alpha)^2}{2}+\frac{\alpha^2}{2}}dx$

変数変換 $u = x - \alpha$ より，

$= e^{\frac{\alpha^2}{2}}\frac{1}{\sqrt {2 \pi}} \int_{-\infty}^{\infty} e^{-\frac{u^2}{2}} du = e^{\frac{\alpha^2}{2}}$

正規分布（2.）

(1) 正規分布の確率密度関数を，標準正規分布からの変換により求める。

${\displaystyle F_Y(x) = P(\mu + \sigma X \leq x ) = P \Biggl( X \leq \frac{x - \mu}{\sigma} \Biggl) \\ \displaystyle = F_X \biggl( \frac{x - \mu}{\sigma} \biggl)}$

分布関数を $x$ で微分して確率密度関数に直して，

${\displaystyle f_Y(x) = f_X \biggl( \frac{x - \mu}{\sigma} \biggl) \frac{1}{\sigma} \\ \displaystyle = \frac{1}{\sqrt {2 \pi} \sigma} e^{-\frac{(x - \mu)^2}{2 \sigma^2}}}$