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確率・統計の勉強 #10 1変数の条件付き期待値(統計検定1級問題をのぞいてみる2)

藤田 岳彦「弱点克服大学生の確率・統計」:

 

弱点克服大学生の確率・統計

弱点克服大学生の確率・統計

 

 

前回↓

ryosuke-okubo.hatenablog.com

 

応用数学に頻出する条件付き期待値について,1変数の確率分布について考える。

問題に出てくる二項分布,正規分布の基本事項については以下記事を参照。

ryosuke-okubo.hatenablog.com

 

 

問題

2018年度統計検定1級 統計数理問3 より

1. 確率変数Xが二項分布B(n,p)にしたがうとき,次の値を求めよ。

(1) 条件付き確率P(X = x|X \gt 1) \ \ \ (x=1,...,n)

(2) 条件付き期待値E(X|X \gt 1)

 

2. 確率変数Yが標準正規分布N(0,1)にしたがうとき,条件付き期待値E(Y|Y \gt 1)を求めよ。

 

解法

条件付き確率 1.(1)

定義:

事象A,Bについて,BにおけるAの条件付き確率

{\displaystyle P(A|B) = \frac{P(A \cap B)}{P(B)}}

 

1. (1)

{\displaystyle P(X = x|X \ge 1) = \frac{P(X = x \cap X \ge 1)}{P(X \ge 1)} \\ \displaystyle = \frac{P(X = x)}{P(X \ge 1)}}

ここで,

{\displaystyle P(X \ge 1) = 1 - P(X = 0) \\ \displaystyle} = 1 - (1 - p)^n

よって,

{\displaystyle \frac{P(X = x)}{P(X \ge 1)} = \frac{\binom nx p^x (1-p)^{n-x}}{1 - (1 - p)^n}}

 

具体例:{\displaystyle X \sim B(3,\frac{1}{6})}において,P(X = 2|X \gt 1)

f:id:ryosuke_okubo:20190404192248p:plain

X=k 0 1 2 3
組み合わせの個数 {}_3 C _0 = 1 {}_3 C _1 = 3 {}_3 C _2 = 3 {}_3 C _3 = 1
ある1つの組み合わせについて,k回成功してn-k回失敗する確率 {\displaystyle (\frac{1}{6})^0 (1-\frac{1}{6})^{3-0}} \\ \displaystyle = \frac{5^3}{6^3} {\displaystyle (\frac{1}{6})^1 (1-\frac{1}{6})^{3-1}} \\ \displaystyle = \frac{5^2}{6^3} {\displaystyle (\frac{1}{6})^2 (1-\frac{1}{6})^{3-2}} \\ \displaystyle = \frac{5^1}{6^3} {\displaystyle (\frac{1}{6})^3 (1-\frac{1}{6})^{3-3}} \\ \displaystyle = \frac{1}{6^3}
k回成功する確率 {\displaystyle \frac{125}{6^3}} {\displaystyle \frac{75}{6^3}} {\displaystyle \frac{15}{6^3}} {\displaystyle \frac{1}{6^3}}

 表の値を用いて,

{\displaystyle P(X = 2|X \ge 1) = \frac{P(X = 2 \cap X \ge 1)}{P(X \ge 1)} \\ \displaystyle =\frac{P(X = 2)}{P(X \ge 1)} \\ \displaystyle = \frac{\frac{15}{6^3}}{\frac{91}{6^3}} = \frac{15}{91}}

 

あるいは(1)の結果を用いて,({\displaystyle n=3,x=2,p=\frac{1}{6}}

 {\displaystyle P(X = 2|X \ge 1) = \frac{\binom 3 2 \frac{1}{6}^2 (1-\frac{1}{6})^{3-2}}{1 - (1 - \frac{1}{6})^3}}

を計算して同様の値を得る。

 

条件付き期待値 1.(2), 2.

定義(離散確率変数):

Xを離散確率変数,Aを事象とするとき,AのもとでのXの条件付き期待値

{\displaystyle E(X|A) = \sum_k kP(X=k|A) =\sum_k k \frac{P(X=k \cap A)}{P(A)}}

 

1. (2)

定義に沿って解けばよい。

{\displaystyle E(X|X \ge 1) = \sum_{x=1}^n xP(X=x|X \ge 1) \\ \displaystyle = \sum_{x=1}^n x\frac{\binom nx p^x (1-p)^{n-x}}{1 - (1 - p)^n}}

 

Xの確率分布を

 {\displaystyle p(x) = \binom nx p^x (1-p)^{n-x}}

として,

{\displaystyle = \frac{1}{1 - (1 - p)^n}\sum_{x=1}^n xp(x) \displaystyle = \frac{1}{1 - (1 - p)^n}\sum_{x=0}^n xp(x) \\ \displaystyle = \frac{1}{1 - (1 - p)^n}E(X) \\ \displaystyle = \frac{np}{1 - (1 - p)^n} }

 

具体例:{\displaystyle X \sim B(3,\frac{1}{6})}において,E(X|X \ge 1)

(2)の結果より({\displaystyle n=3,p=\frac{1}{6}}),

{\displaystyle E(X|X \ge 1) = \frac{np}{1 - (1 - p)^n} \\ \displaystyle = \frac{3 \times \frac{1}{6}}{1 - (1 - \frac{1}{6})^3} = \frac{108}{91}}

f:id:ryosuke_okubo:20190404194022p:plain

 

連続確率変数の場合も同様に考える。

定義(連続確率変数):

Xを連続確率変数,A = \{ a \le X \le b \}を事象とするとき,AのもとでのXの条件付き期待値

{\displaystyle E(X|A) = \int_a^b x \frac{f_X (x)}{P(a \le X \le b)} dx}

ここで条件付き密度関数

{\displaystyle \frac{f_X (x)}{P(a \le X \le b)} = f_{X|a \le X \le b}(x)}

 

2.

{\displaystyle E(Y \cap Y \gt 1) = \int_1^{\infty} \frac{1}{\sqrt{2 \pi}}x e^{-\frac{x^2}{2}} dx} \\ \displaystyle = \frac{1}{\sqrt{2 \pi}}e^{-\frac{1}{2}}

よって,

{\displaystyle E(Y|Y \gt 1) = \frac{E(Y \cap Y \gt 1)}{P(Y \gt 1)} \\ \displaystyle = \frac{\frac{1}{\sqrt{2 \pi}} e^{-\frac{1}{2}}}{1 - \Phi(1)} }

近似値:

{\displaystyle \pi = 3.1416 , e^{-\frac{1}{2}} = 0.6065 , \Phi(1) = 0.8413} より,

{\displaystyle \frac{\frac{1}{\sqrt{2 \pi}} e^{-\frac{1}{2}}}{1 - \Phi(1)} \simeq 1.525}

f:id:ryosuke_okubo:20190404195030p:plain

 

ここで,条件付き期待値の性質をまとめておく。

<1> E(E(Y|X)) = E(Y)

<2> E(g(X)h(Y)|X) = g(X)E(h(Y)|X)

<3> X, Yが独立なら,E(Y|X) = E(Y)

<4> E(X|X) = E(X)

ここでは<1>のみ証明する。

<1>証明:

{\displaystyle E(E(Y|X)) = \sum_k E(Y|X=k)P(X=k) \\ \displaystyle = \sum_k \sum_y yP(Y=y|X=k)P(X=k) \\ \displaystyle =\sum_k \sum_y yP(Y=y \cap X=k) \\ \displaystyle =  \sum_y yP(Y=y) = E(Y)}

 

条件付き分散

条件付き分散についても簡単に触れておく。

定義:

V(Y|X) = E(Y^2|X) - (E(Y|X))^2

 

また,次の公式が成り立つ。

V(Y) = E(V(Y|X)) + V(E(Y|X))

 証明:

E(V(Y|X)) + V(E(Y|X)) \\ = E(E(Y^2|X) - (E(Y|X)^2) +E(E(Y|X)^2) - (E(E(Y|X)))^2 \\ = E(E(Y^2|X)) - E(E(Y|X)^2) +E(E(Y|X)^2) - (E(E(Y|X)))^2

<1>より,

 = E(Y^2) - (E(Y))^2 = V(Y)

 

次回↓

 

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