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確率・統計の勉強 #6 ガンマ関数とベータ関数（積分計算の練習）

統計学 問題演習を通して理解する基礎統計勉強会まとめ

藤田 岳彦「弱点克服大学生の確率・統計」：

 

弱点克服大学生の確率・統計

弱点克服大学生の確率・統計

 

 前回↓

 

ryosuke-okubo.hatenablog.com

 

 

問題

問題35　ガンマ関数とベータ関数　より

以下を求めよ。

(1) \Gamma(4)

(2)  t \gt 0のとき， {\displaystyle \int_{-\infty}^{\infty} e^{-tx^2}dx}

(3) B(3,4)

(4) {\displaystyle \int_{0}^{2\pi} \sin^4\theta \cos^6\theta d\theta}

(5) {\displaystyle \int_{0}^{\infty} \frac{x^4}{(1+x)^9} dx}

 連続確率分布の性質を詳しくみる際に，ガンマ関数とベータ関数が必要になってくる。そこで，今回は簡単な計算問題を通して，ガンマ関数とベータ関数の特徴をおさえていく。積分計算の練習にもどうぞ。

 

解法

ガンマ関数(1)(2)

定義

 {\displaystyle \Gamma(s)=\int_{0}^{\infty} x^{s-1}e^{-x}dx \ (s \gt 0)}

定義をみると難しそうであるが，実は階乗を複素数にまで拡張した概念である。

基本的性質として

\Gamma(s+1)=s\Gamma(s)（部分積分により証明できる）

が成り立つことから，sが自然数の場合

\Gamma(s)=(n-1)!

が成り立つ。

 

よって，

(1)   \Gamma(4)=(4-1)!=3!

 

ガンマ関数の具体例としては，ガウス積分による

{\displaystyle \Gamma(\frac{1}{2})=\int_{-\infty}^{\infty} e^{-x^2}dx = \sqrt{\pi}}

 が正規分布の基礎として重要である。なお証明については

ガウス積分 - Wikipedia

 の積分値の計算などを参考にするとよい。

 

f:id:ryosuke_okubo:20190212134446p:plain

y=e^{-x^2}のグラフ

 

(2) {\displaystyle \int_{-\infty}^{\infty} e^{-tx^2}dx }

e^{-tx^2}は偶関数であり，y軸対称のグラフとなるため，

{\displaystyle =2\int_{0}^{\infty} e^{-tx^2}dx }

u=tx^2と置換すると，\displaystyle x=\sqrt{\frac{u}{t}}，{\displaystyle dx= \frac{1}{2\sqrt{t}}u^{-\frac{1}{2}}du}（合成関数の微分より）となるので，

  {\displaystyle =2\int_{0}^{\infty} e^{-u}\frac{1}{2\sqrt{t}}u^{-\frac{1}{2}}du \\ \displaystyle =2\frac{1}{2\sqrt{t}}\int_{0}^{\infty} e^{-u}u^{-\frac{1}{2}}du}

 ここで {\displaystyle \int_{0}^{\infty} e^{-u}u^{-\frac{1}{2}}du}はガンマ関数の定義より{\displaystyle \Gamma(\frac{1}{2})}となるので，

{\displaystyle = \frac{\Gamma(\frac{1}{2})}{\sqrt{t}}}

最後にガウス積分を用いると，

{\displaystyle = \sqrt{\frac{\pi}{t}}}

となる。

ベータ関数(3)~(5)

定義

 {\displaystyle B(s,t)=\int_{0}^{1} x^{s-1}(1-x)^{t-1}dx \ (s \gt 0,t \gt 0)}

 これもまた難しそうであるが，特殊な例に

{\displaystyle \int_{a}^{b} (x-a)(b-x)dx = \frac{1}{6}(b-a)^3}

いわゆる「1/6公式」がある。

参考：

ベータ関数の積分公式 | 高校数学の美しい物語

 

ベータ関数とガンマ関数との間には，次の関係がある。

 {\displaystyle B(s,t)= \frac{\Gamma(s)\Gamma(t)}{\Gamma(s+t)}}

 

これより，

(3)  {\displaystyle B(3,4)= \frac{\Gamma(3)\Gamma(4)}{\Gamma(7)}= \frac{2!3!}{6!}=\frac{1}{60}}

 

ベータ関数の定義式は，変数変換することで別の形で表すことができる。

例：

  1. {\displaystyle 2\int_{0}^{2\pi} \sin^{2s-1}\theta \cos^{2t-1}\theta d\theta}（x=\sin^2\thetaと置換，dx=2\sin\theta \cos\theta d\theta）
  2. {\displaystyle \int_{0}^{\infty} \frac{u^{t-1}}{(1+u)^{s+t}} du}（{\displaystyle x=\frac{1}{1+u}}と置換）

 

(4) 変数変換1.より

{\displaystyle \int_{0}^{2\pi} \sin^4\theta \cos^6\theta d\theta} = 2B(\frac{5}{2},\frac{7}{2})

ガンマ関数に変換して

{\displaystyle =\frac{2\Gamma(\frac{5}{2})\Gamma(\frac{7}{2})}{\Gamma(6)}=\frac{2\cdot \frac{3}{2} \cdot \frac{1}{2} \cdot \Gamma(\frac{1}{2}) \cdot\frac{5}{2} \cdot\frac{3}{2} \cdot \frac{1}{2} \cdot \Gamma(\frac{1}{2})}{5!}} \\ \displaystyle = \frac{45\pi}{2^4 \cdot 5!}

 

(5) 変数変換2.より

{\displaystyle \int_{0}^{\infty} \frac{x^4}{(1+x)^9} dx = B(4,5)} 

ガンマ関数に変換して

{\displaystyle =\frac{\Gamma(4)\Gamma(5)}{\Gamma(9)}=\frac{3!4!}{8!} \\ \displaystyle =\frac{1}{280}}

 

次回↓

 

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