十の並列した脳

何でも勉強する，毎週月木曜に投稿予定

確率・統計の勉強 #4 離散確率分布の計算に用いる公式

統計学 問題演習を通して理解する基礎統計勉強会まとめ

藤田 岳彦「弱点克服大学生の確率・統計」：

 

弱点克服大学生の確率・統計

弱点克服大学生の確率・統計

 

 前回↓

 

ryosuke-okubo.hatenablog.com

 

 

Chapter.3から離散確率分布の計算演習に移る。問題を解いていくうちに，以前出てきた公式を忘れて手が止まることが多いことに気づいた。本記事ではその公式をまとめたいと思う。

 

(1) V(X) = E(X(X-1)) + E(X) - (E(X))^2

証明：  E(X^2) = E(X(X-1)) + E(X) であることを確認すればよい。

右辺を展開して，  E(X(X-1)) + E(X) = E(X^2 - X) + E(X) \\ = E(X^2) - E(X) + E(X) = E(X^2)

用途：分散の計算において E(X^2) の計算が困難なとき

 

(2) {\displaystyle \sum_{k=0}^{\infty} k x^{k-1} = (1 - x)^{-2} \ (|x| \le 1)}

証明：{\displaystyle \sum_{k=0}^{\infty} x^k = (1 - x)^{-1} \ (|x| \le 1)}の両辺を微分する。念のため，右辺の微分について書いておく。

f(x) = (1 - x)^{-1}として{\displaystyle \frac{df}{dx}}を求める。

ここで u(x) = 1 - xとおくと， f(u) = u^{-1}

連鎖律より{\displaystyle \frac{df}{dx} = \frac{df}{du} \frac{du}{dx} = (-u^{-2})(-1) \\ \displaystyle = (1 - x)^{-2}}

用途：幾何分布の期待値計算

 

(3) {\displaystyle \sum_{k=0}^{\infty} k(k-1) x^{k-2} = \frac{2}{(1 - x)^{3}} \ (|x| \le 1)}

証明：(2) をさらに微分して得られる。

用途：幾何分布の分散計算

 

(4)　離散確率分布において， P(X=k) = P(X \ge k) -P(X \ge k+1)

証明：

f:id:ryosuke_okubo:20190126133923p:plain
f:id:ryosuke_okubo:20190126133920p:plain
f:id:ryosuke_okubo:20190126133927p:plain
図1 （左）青： P(X \ge k)　（中）赤： P(X \ge k+1)　（右） P(X = k)

用途：特に幾何分布の確率

 

(5) {\displaystyle k \binom{n}{k} = n \binom{n-1}{k-1}}

証明：左辺 {\displaystyle  = k \frac{n!}{k!(n-k)!} = n \frac{(n-1)!}{(k-1)!(n-k)!} =}右辺

用途：二項分布の期待値の証明。

 

(6)　二項定理{\displaystyle \sum_{k=0}^n \binom nk x^k y^{n-k} = (x+y)^n } 

証明：こちらのサイトが参考になる。→

二項定理の意味と２通りの証明 | 高校数学の美しい物語

用途：二項分布，ポアソン分布などの証明に必須。以下の派生系も重要。

　<1>　 y = 1のとき，{\displaystyle \sum_{k=0}^n \binom nk x^k = (x+1)^n}

　<2>　 x = 1,y = 1のとき，{\displaystyle \sum_{k=0}^n \binom nk = 2^n}

　<3>　 x = -1,y = 1のとき，{\displaystyle \sum_{k=0}^n(-1)^k \binom nk  = (1-1)^n = 0}

　<4>　<1>を微分すると，{\displaystyle \sum_{k=0}^n k \binom nk x^{k-1} = n(x+1)^{n-1}}

 

(7) ニュートン展開{\displaystyle (1+x)^{\alpha} = \sum_{k=0}^{\infty} \binom {\alpha}{k} x^k \ (|x| \lt 1)}

証明：二項定理に対して，nが自然数でなくてもよい一般化二項定数を定義する。

用途：以下の派生系が用いられる。

　<1>　{\displaystyle \binom{-n}{k} = (-1)^k \binom{n+k-1}{k}}より，{\displaystyle (1-x)^{n} = \sum_{k=0}^{\infty} \binom {n+k-1}{k} x^k}

　<2>　 (1+x)^m(1+x)^{N-m} = (1+x)^Nの両辺のx^nの係数を比べることより，{\displaystyle \sum_{l=0}^{min(m,n)} \binom {m}{l} \binom {N-m}{n-l} =\binom {N}{n}}

 

(8) {\displaystyle e^{\lambda} = \sum_{l=0}^{\infty} \frac{\lambda^l}{l!} }

証明：一般のマクローリン展開{\displaystyle f(\lambda) = \sum_{l=0}^{\infty} f^{(n)}(0) \frac{\lambda^l}{l!} }に対して，f'(0) =f''(0) = ... = f^{(n)}(0) = 1より。

用途：ポアソン分布の証明。

 

次回↓

 

ryosuke-okubo.hatenablog.com