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確率・統計の勉強 #11 ランダムウォークの計算

統計学 問題演習を通して理解する基礎統計勉強会まとめ

藤田 岳彦「弱点克服大学生の確率・統計」：

 

弱点克服大学生の確率・統計

弱点克服大学生の確率・統計

 

 前回↓

 

ryosuke-okubo.hatenablog.com

 

今回は，確率過程の入門として重要な「ランダムウォーク」の計算を扱う。ここで条件付き期待値について慣れておきたい。

 

問題

問題61より

\xi_1,\xi_2,...,は独立で同分布で，{\displaystyle P(\xi_i = 1)=P(\xi_i = -1) = \frac{1}{2}}とし，また，Z_t = \xi_1 + \xi_2 + ... + \xi_t，t \le TのときにY_t = E(Z_T^2|\xi_1,\xi_2,...,\xi_t)と定めたとき，次の値を求めよ。

(1) E(Z_t)

(2) Y_t

(3) E(Y_{t+1}|\xi_1,\xi_2,...,\xi_t)

(4) E(Y_t)

 

解法

ランダムウォークとは，「一定時間ごとにランダムな方向に移動するものを数学的にモデル化したもの（はてなキーワードより）」 である。問題を例えると，t回コイン投げをして，表なら1，裏なら-1を足していった値がZ_tである。

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なお，ここで扱うランダムウォークは「対称単純ランダムウォーク」である。 

 

(1)

E(Z_t) = E(\xi_1 + \xi_2 + ... + \xi_t) \\ = E(\xi_1) + E(\xi_2) + ... + E(\xi_t)

ここで{\displaystyle E(\xi_1) = 1 \times \frac{1}{2} + (-1) \times \frac{1}{2} = 0}，他も同様なので，

E(Z_t) = 0

 

(2)

Y_t = E(Z_T^2|\xi_1,\xi_2,...,\xi_t) \\ = E [ (Z_t + \xi_{t+1} +...+ \xi_T)^2|\xi_1,\xi_2,...,\xi_t ] \\ = E(Z_t^2|\xi_1,\xi_2,...,\xi_t) + 2Z_tE(\xi_{t+1} +...+ \xi_T|\xi_1,\xi_2,...,\xi_t) \\ + E [ (\xi_{t+1} +...+ \xi_T)^2|\xi_1,\xi_2,...,\xi_t ]

 

Z_t^2は\xi_1,\xi_2,...,\xi_tが決まるとただ一つの値に決まるため，

=Z_t^2 + 2Z_tE(\xi_{t+1} +...+ \xi_T|\xi_1,\xi_2,...,\xi_t) \\ + E [ (\xi_{t+1} +...+ \xi_T)^2|\xi_1,\xi_2,...,\xi_t ]

 

また\xi_1,\xi_2,...,\xi_tと\xi_{t+1} +...+ \xi_Tは独立なので，

=Z_t^2 + 2Z_tE(\xi_{t+1} +...+ \xi_T) + E [ (\xi_{t+1} +...+ \xi_T)^2 ]

 

(1)よりE(\xi_{t+1} +...+ \xi_T)=0なので，

=Z_t^2 + E[ (\xi_{t+1})^2 +...+ (\xi_T)^2 + 2\xi_{t+1}\xi_{t+2} + ... + 2\xi_{T-1}\xi_{T} ] \\ = Z_t^2 + T - t

 

(3)

ここで，m \ge nとして，

E [ E(Y|X_1,...,X_m)|X_1,...,X_n ] = E(Y|X_1,...,X_n)

が成り立つことが知られており，

E(Y_{t+1}|\xi_1,\xi_2,...,\xi_t) = E [ E(Z_T^2|\xi_1,\xi_2,...,\xi_t,\xi_{t+1})|\xi_1,\xi_2,...,\xi_t) ] \\ = E(Z_T^2|\xi_1,\xi_2,...,\xi_t) = Y_t

 

Y_tについて，「tまでの試行結果からのY_{t+1}の期待値」に等しいことがわかる。このような性質をマルチンゲールという。これは「公平な賭け」の抽象化したものである。

定義：

X_tがマルチンゲールであるとは，全てのtについて

E(X_{t+1}|X_t,X_{t-1},...,X_1) = X_t

を満たすことである。

 

(4)

E(Y_t) = E [ E(Z_T^2|\xi_1,\xi_2,...,\xi_t) ] \\ = V(Z_T) + (E(Z_T))^2 = E(Z_T^2) = T

 

次回↓

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